Раздел 1.
-
1.1.Вводный урок. Предмет аналитической геометрии. Линейные пространства.
-
1.2. Предмет аналитической геометрии. Геометрические векторы. Общие понятия. Коллинеарные и компланарные векторы. Орт вектора.
-
1.3. Линейные операции над векторами
-
1.4. Понятие о линейном пространстве. Примеры линейных пространств.
-
1.5. Линейная зависимость и независимость векторов. Свойства линейно зависимых и независимых систем элементов линейного пространства.
-
1.6. Базис в линейном пространстве. Размерность линейного пространства. Единственность разложения вектора по базису.
-
1.7. Координаты вектора. Линейные операции в координатной форме.
-
Раздел 2. Векторная алгебра. Часть 1.
-
2.1. Проекция вектора на вектор. Свойства проекций. Ортогональная проекция вектора на ось. Ортогональная проекция вектора на плоскость
-
2.2. Базис в множестве геометрических векторов. Координаты вектора.
-
2.3. Декартова прямоугольная система координат (Д.П.С.К).
-
2.4. Действия над векторами, заданными в Д.П.С.К. Условие коллинеарности двух векторов. Деление отрезка в данном отношении.
-
2.5. Скалярное произведение векторов, его свойства.
-
2.6. Связь с ортогональной проекцией вектора на ось. Применение скалярного произведения в физике.
-
Раздел 2. Векторная алгебра. Часть 2.
-
2.7. Определители второго и третьего порядков, их свойства.
-
2.8. Правые и левые тройки векторов.
-
2.9. Векторное произведения векторов, его свойства, координатное представление.
-
2.10. Смешанное произведения векторов, его свойства, координатное представление.
-
2.11. Применение скалярного, смешанного и векторного произведения в физике и механике.
-
Раздел 3. Прямая на плоскости, прямая и плоскость в пространстве
-
3.1. Прямая в пространстве. Основные способы задания прямой в пространстве
-
3.2. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми в пространстве
-
3.3. Прямая на плоскости как алгебраическая кривая первого порядка. Основные виды уравнений прямой на плоскости
-
3.4. Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости
-
3.5. Плоскость как алгебраическая поверхность первого порядка. Основные виды уравнений плоскости
-
3.6. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости
-
3.7. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
-
Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве.
-
3.8. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью
-
Раздел 4. Кривые второго порядка.
-
4.1. Общее уравнение алгебраической кривой второго порядка. Параллельный перенос системы координат. Классификация кривых 2-го порядка.
-
4.2. Приведение к каноническому виду уравнений алгебраических кривых второго порядка, не содержащих произведения переменных
-
4.3. Эллипс, каноническое уравнение, основные параметры, фокальное свойство.
-
4.4. Директориальное свойство эллипса.
-
4.5. Касательная к эллипсу, оптическое свойство эллипса.
-
4.6. Примеры решения задач по теме “эллипс” (урок с практической частью).
-
4.7. Гипербола, каноническое уравнение, основные параметры, фокальное свойство.
-
4.8. Директориальное свойство гиперболы.
-
4.9. Асимптоты гиперболы. Касательная к гиперболе. Оптическое свойство гиперболы.
-
4.10. Примеры решения задач по теме “гипербола” (урок с практической частью).
-
4.11. Парабола, каноническое уравнение, основные параметры, директориальное свойство параболы.
-
4.12. Касательная к параболе, оптическое свойство параболы.
-
4.13. Примеры решения задач по теме “парабола” (урок с практической частью).
-
Раздел 5. Поверхности второго порядка
-
5.1. Общее уравнение алгебраической поверхности второго порядка. Эллипсоид, основные свойства и построение по сечениям, параллельным координатным плоскостям.
-
5.2. Однополостный и двуполостный гиперболоиды. Их основные свойства и построение по сечениям, параллельным координатным плоскостям.
-
5.3. Конус второго порядка, эллиптический параболоид. Их основные свойства и построение по сечениям, параллельным координатным плоскостям.
-
5.4. Гиперболический параболоид. Цилиндрические поверхности второго порядка. Их основные свойства и построение по сечениям, параллельным координатным плоскостям.
-
5.5. Приведение к каноническому виду уравнений поверхностей, не содержащих произведений переменных. Примеры решения задач по теме “поверхности второго порядка” (урок с практической частью).
-
Раздел 6. Определители и матрицы. Часть 1.
-
6.1. Матрицы и действия над ними: линейные операции и умножение матриц.
-
6.2. Умножение матриц как преобразование строк и столбцов. Транспонирование.
-
6.3. Специальные типы матриц.
-
6.4. Ориентированная площадь на плоскости.
-
6.5. Ориентированный объём в пространстве.
-
6.6. n-мерный ориентированный объём.
-
6.7. Перестановки и их чётность.
-
6.8. Формула для ориентированного объёма и определитель.
-
6.9. Полилинейные кососимметричные функции.
-
6.10. Композиции перестановок и обратные перестановки.
-
-
Раздел 6. Определители и матрицы. Часть 2.
-
6.11. Свойства определителя.
-
6.12. Определитель произведения матриц.
-
6.13. Формулы Крамера и ориентированный объём.
-
6.14. Определитель специального вида.
-
6.15. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя.
-
6.16. Биортогональная система к системе строк/столбцов. Обратная матрица.
-
6.17. Ранг матрицы и базисный минор.
-
6.18. Свойства ранга матрицы.
-
6.19. Ориентированный объём повёрнутого куба.
-
6.20. Связь ориентированного объёма и обычного.
-
Раздел 7. Системы линейных алгебраических уравнений и матричные уравнения.
-
7.1. Матричные уравнения.
-
7.2. Системы линейных алгебраических уравнений.
-
7.3. Правило Крамера решения систем линейных уравнений.
-
7.4. Условие существования решений систем линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли). Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
-
7.5. Фундаментальная система решений. Свойства общего решения однородной системы линейных уравнений.
-
7.6. Свойства общего решения неоднородной системы линейных уравнений. Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений.
-
Раздел 8. Линейные операторы
-
8.1. Линейные операторы. Примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами. Пространство линейных операторов.
-
8.2. Матрица линейного оператора.
-
8.3. Примеры матриц линейных операторов. Оператор поворота.
-
8.4. Координаты вектора в новом базисе. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
-
8.5. Обратный оператор. Ядро, образ и ранг линейного оператора.
-
8.6. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен.
-
8.7. Нахождение собственных чисел и собственных векторов линейного оператора.
-
8.8. Алгебраическая и геометрическая кратность собственных значений.
-
8.9. Линейная независимость векторов, отвечающих различным собственным значениям.
-
8.10. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Теорема о матрице линейного оператора в базисе из собственных векторов
-
Раздел 9. Самосопряженные линейные операторы
-
9.1. Евклидово пространство. Скалярное произведение.
-
9.2. Норма. Теорема Пифагора.
-
9.3. Неравенство Коши–Буняковского и неравенство треугольника.
-
9.4. Ортонормированный базис конечномерного евклидова пространства. Разложение произвольного вектора по ортогональному базису.
-
9.5.Теорема о существовании в евклидовом пространстве ортонормированного базиса. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта.
-
9.6. Ортогональные операторы.
-
9.7. Сопряженные линейные операторы в евклидовом пространстве. Самосопряженные операторы.
-
9.8. Свойства собственных значений и собственных векторов самосопряженного оператора. Диагональный вид самосопряженного оператора. Спектральное разложение самосопряженного оператора
-
-
9.10* Доказательство теоремы о вещественности собственных значений самосопряженного оператора
-
9.11* Доказательство теоремы о приведении самосопряженного оператора к диагональному виду
-
* – бонусные (дополнительные) темы
-
Раздел 10. Билинейные и квадратичные формы.
-
10.1. Линейные функционалы.
-
10.2. Билинейные формы. Соответствие между билинейными формами и линейными операторами. Матрица билинейной формы и её изменение при замене базиса..
-
10.3. Симметричные и кососимметричные билинейные формы. Разложение формы на симметричную и кососимметричную.
-
10.4. Квадратичные формы. Соответствие между квадратичными и билинейными формами. Матрица квадратичной формы.
-
-
10.6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
-
-
10.8. Критерий Сильвестра.
-
10.9. Приведение квадратичной формы к каноническому виду в евклидовом пространстве ортогональными преобразованиями.
-
10.10. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду с помощью поворота.
-
факультет 
Открытое образование
