Открытое образование

Высшая математика. Алгебра: введение в теорию групп

  • Начальный уровень
  • Наставник: Нет
  • Сертификат: Есть
  • Формат: Online
  • Рассрочка: Нет
  • Язык: Русский
  • Осталось мест: не ограничено
Записаться

Высшая математика. Алгебра: введение в теорию групп

Организатор курса: СПбГУ

Уважаемые слушатели, некоторые материалы данного курса доступны для ознакомительного просмотра. Чтобы получить доступ ко всем материалам курса, необходимо оплатить доступ к материалам. 

В настоящем курсе детально обсуждаются как основные понятия и важнейшие факты общей теории групп, так и несколько более глубоких результатов, относящихся к арифметическим свойствам и структуре конечных групп, заданию групп образующими и соотношениями и действиям групп. Кроме теоретического материала и краткого обсуждения истории и приложений, все эти темы будут поддержаны большим количеством тщательно подобранных задач и упражнений различного уровня трудности для самостоятельной работы.

Программа обучения
  • Неделя 1. Вводная лекция.
  • Неделя 2. Основные определения и примеры
  • Определение группы, простейшие свойства групп, примеры групп
  • Подгруппы, порождение подгрупп, циклические группы
  • Классы смежности, индекс подгруппы, теорема Лагранжа
  • Неделя 3.
  • Двойные смежные классы, формула индекса Фробениуса
  • Нормальные подгруппы и фактор-группы
  • Классы сопряженности
  • Неделя 4. Гомоморфизмы групп
  • Определение и примеры гомоморфизмов, ядро и образ, теорема о гомоморфизме
  • Теоремы об изоморфизме, строение группы автоморфизмов
  • Неделя 5. Группы перестановок
  • Симметрическая группа, циклы, транспозиции
  • Знак перестановки и знакопеременная группа
  • Неделя 6. Действия групп на множестве
  • Определение и примеры действий групп
  • Орбита, стабилизатор, неподвижные точки
  • Классификация действий групп
  • Лемма Бернсайда и комбинаторные приложения
  • Неделя 7. Коммутаторы и коммутант
  • Коммутаторы и коммутант, тождества с коммутаторами
  • Коммутант симметрической и полной линейной групп
  • Неделя 8. Произведения групп, разрешимость и нильпотентность
  • Прямые и полупрямые произведения групп, расширения
  • Ряды подгрупп, разрешимые и нильпотентные группы
  • Неделя 9. p-группы и теоремы Силова
  • p-группы, теорема Коши о существовании элементов простого порядка
  • Теоремы Силова с доказательствами
  • Неделя 10. Задание групп образующими и соотношениями
  • Свободные группы, соотношения в группах
  • Примеры задания групп образующими и соотношениями: циклические и диэдральные группы, S4 и A4
  • Неделя 11. Геометрические примеры групп
  • Группы кос и их задание образующими и соотношениями
  • Кокстеровское задание групп перестановок
  • Группы, порожденные отражениями
  • Неделя 12. Классификация групп малых порядков
  • Классификация групп, порядок которых делится на малое количество простых чисел
  • Классификация групп порядка 8 и 12
  • Классификация простых групп порядка 60
  • Неделя 13. Завершающая лекция и итоговый экзаме